Пятница, 22.09.2017, 07:28
 Zvezdar
Главная | Регистрация | Вход  
●●●●●
Меню сайта
 

Поиск

Translate


1. Упрощенная постановка задачи трех тел
В отличии от задачи двух тел задача трех тел не имеет точного решения. Однако на практике точное решение не всегда необходимо. В связи с этим возникает вопрос, в каких случаях при проведении приближенного решения задачи трех тел допустимо воспользоваться уравнениями задачи двух тел?
На практике, обычно, приходится иметь дело с тремя телами, у которых соотношение масс m 1 » m 2 » m 3. Пусть расстояние между этими телами r12 ≈ r13 » r23. Рассмотрим движение наименьшего тела m 3 относительно среднего тела m 2 с учетом влияния со стороны наибольшего тела m 1. В неинерциальной системе координат, связанной с телом m 2, отношение модуля ускорения тела m 3, обусловленное действием силы притяжения со стороны тела m 2, к модулю ускорения этого же тела m 3, обусловленного действием возмущающей силы тяжести со стороны тела m 1, будет (рис.1)

(1.1)
где: ξ - отношение модулей ускорений; g 21 - ускорение тела m 2 в инерционной системе координат вызванное присутствием тела m 1; g 31 - ускорение тела m 3 в инерционной системе координат вызванное присутствием тела m 1; g 32 - ускорение тела m 3 в инерционной системе координат вызванное присутствием тела m 2.

Ускорение тел в инерционной системе координат

рис.1 Ускорение тел в инерционной системе координат.
Модуль суммы векторов и, между которыми угол α (рис.1) определяется при помощи теоремы косинусов

(1.2)
Из исходных данных r12 ≈ r13 » r23 вытекает, что угол α чрезвычайно мал, следовательно имеем cosα ≈ 1, отсюда

(1.3)
Получается, что уравнение (1.1) можно упростить и записать в виде

(1.4)
В соответствии с Законом всемирного тяготения

(1.5)
Здесь γ = 6,67·10-11 м3/(кг·с2) – гравитационная постоянная. Подстановка уравнений (1.5) в уравнение (1.4) дает

(1.6)
В соответствии с теоремой косинусов расстояние между телами связано соотношением (рис.1)

(1.7)
После подстановки (1.7) в уравнение (1.6) имеем

(1.8)
С учетом исходных данных r12 » r23 уравнение (1.8) можно записать в виде

(1.9)
Если исключить из рассмотрения пренебрежимо малый диапазон значений угла β, когда r23 меньше, равен или даже несколько больше 2r12соsβ, и оставить для рассмотрения лишь случай когда r23 « 2r12соsβ, то тогда уравнение (1.1) принимает вид

(1.10)
Как видно из уравнения (1.10) с увеличением расстояния между телами m 3 и m 2 влияние тела m 2 на движение тела m 3 относительно тела m 2 по сравнению с возмущающим влиянием тела m 1 стремительно уменьшается. Так, если при неизменном угле β расстояние r23 увеличивается лишь в 2,15 раз, то тогда отношение ускорений ξ уменьшается в 2,153 = 10 раз, а если r23 увеличивается всего лишь в 4,64 раза, то тогда ξ уменьшается уже в 4,643 = 100 раз. Такая особенность кубической функции дает возможность выделить область доминирования тела m 2 в гравитационном поле тела m 1. Для определения границы области доминирования в уравнение (1.10) необходимо подставить ξ = 1, получается

(1.11)



рис.2 Область и сфера гравитационного доминирования тела m 2 в гравитационноп поле тела m 1.

рис.3 К определению rср.
Область доминирования меньшего тела в гравитационном поле большего тела m 1 имеет простую округлую форму (рис.2). Поэтому при грубом рассмотрении сближения тела m 3 с телом m 2 удобно использовать сферу доминирования, радиус которой rср равняется среднему значению r(β) по всем направлениям (рис.2,3)

(1.12)
Интегрирование уравнения (1.12) дает

(1.13)
Уравнение (1.13) позволяет в целом ряде случаев приближенных расчетов свести сложную трехмерную задачу трех и более тел до совокупности простых двухмерных задач двух тел. Так, если тело m 1 находится за пределами сферы доминирования тела m 2, то тогда при проведении грубых расчетов движения тела m 3 относительно тела m 1 можно пренебречь действием возмущающей силы со стороны тела m 2. Если же тело m 3 находится внутри сферы доминирования тела m 2, то тогда при проведении грубых расчетов движения тела m 3 можно пренебречь действием возмущающей силы со стороны тела m 1. Так, например, радиус орбиты Луны в 6,7 раз меньше радиуса сферы доминирования Земли в гравитационном поле Солнца. Возмущающее воздействие Солнца по сравнению с влиянием Земли получается где-то в 6,73 = 300 раз меньше.
Подобные методы упрощения задачи трех тел хорошо зарекомендовали себя в космонавтике при проведении расчетов траекторий полета межпланетных аппаратов [2]. В работе [1] для случая r12 = const, т.е. для случая движения тела m 2 вокруг тела m 1 по круговой орбите было введено понятие сферы влияния меньшего тела в гравитационном поле большего тела путем использования интеграла Якоби. Исходя из условия минимизации ошибки приближенного расчета постоянной интеграла Якоби была получена формула для вычисления радиуса сферы влияния.

(1.14)
Получается, что хотя уравнения (1.13) и (1.14) были выведены совершенно разными способами, по сути они практически не отличаются.

Список литературы
1. Кислик М.Д. Сферы влияния больших планет и Луны // Космические исследования.-1964.-Т.2, вып. 6.
2. Охоцимский Д.Е., Сихарултдзе Ю.Г. Основы механики космического полёта: Учеб. Пособие.-М..: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990.- 448 с.

© 2017 Zvezdar Все права защищены! Рейтинг сайтов Ufolog.ruЯндекс.МетрикаРейтинг@Mail.ru